Làm thế nào để trả lời những điều này bằng cách sử dụng tích hợp?

Làm thế nào để trả lời những điều này bằng cách sử dụng tích hợp?
Anonim

Câu trả lời:

Khu vực là # = (32/3) u ^ 2 # và khối lượng là # = (512 / 15pi) u ^ 3 #

Giải trình:

Bắt đầu bằng cách tìm chặn chặn với trục x

# y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 #

Vì thế, # x = 0 ## x = 4 #

Khu vực là

# dA = ydx #

# A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

Âm lượng là

# dV = piy ^ 2dx #

# V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx #

# = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx #

# = pi 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = pi (512/15) #

Câu trả lời:

a. #32/3#

b. # (512pi) / 15 #

Giải trình:

Đầu tiên, chúng ta cần tìm các điểm mà đồ thị đi qua # x #-axis.

# 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 #

Hoặc # x = 0 # hoặc là # 4-x = 0 #

# x = 0 hoặc 4 #

Bây giờ chúng tôi biết giới hạn trên và dưới của chúng tôi.

a. # "Khu vực dưới một biểu đồ" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) = 32/3 #

b. # "Khối lượng xoay" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) ^ 2 = (4x-x ^ 2) ^ 2 = 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi ((16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = pi 512/15 = (512pi) / 15 #