Làm thế nào để bạn đánh giá tích phân xác định int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) từ [0, pi / 4]?

Câu trả lời:

# pi / 4 #

Giải trình:

Lưu ý rằng từ danh tính Pythagore thứ hai mà

# 1 + tan ^ 2x = giây ^ 2x #

Điều này có nghĩa là phân số bằng 1 và điều này cho chúng ta tích phân khá đơn giản của

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

Câu trả lời:

# pi / 4 #

Giải trình:

Thật thú vị, chúng ta cũng có thể lưu ý rằng điều này phù hợp với dạng tích phân arctangent, cụ thể là:

# int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Ở đây, nếu # u = tanx # sau đó # du = giây ^ 2xdx #, sau đó:

# intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #

Thêm giới hạn:

# int_0 ^ (pi / 4) giây ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #