Được biết, phương trình bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 có một gốc thực. Chứng minh rằng phương trình x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 không có gốc thực.?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Rễ cho # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # là

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Rễ sẽ trùng và thật nếu

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

hoặc là

# a = b # hoặc là #a = 5b #

Bây giờ giải quyết

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # chúng ta có

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Điều kiện cho rễ phức tạp là

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

hiện đang làm #a = b # hoặc là #a = 5b # chúng ta có

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Kết luận, nếu # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # Có gốc rễ thật trùng hợp rồi. # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # sẽ có rễ phức tạp.

Chúng ta được cho rằng phương trình:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

có một gốc thực sự, do đó, phân biệt của phương trình này bằng không:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, hoặc là # a = 5b #

Chúng tôi tìm cách hiển thị phương trình:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

không có gốc thực sự. Điều này sẽ đòi hỏi một phân biệt đối xử tiêu cực. Phân biệt đối xử cho phương trình này là:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Và bây giờ chúng ta hãy xem xét hai trường hợp có thể thỏa mãn phương trình đầu tiên:

Trường hợp 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Trường hợp 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Do đó, các điều kiện của phương trình thứ nhất là phương trình thứ hai luôn có phân biệt âm và do đó có gốc phức (nghĩa là không có gốc thực), QED