Làm thế nào để chọn hai số mà tổng các căn bậc hai của chúng là tối thiểu, biết rằng tích của hai số đó là a?

Câu trả lời:

# x = y = sqrt (a) #

Giải trình:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "là tối thiểu" #

# "Chúng tôi có thể làm việc với hệ số nhân Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Sản lượng sinh ra:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(sau khi nhân với x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "TỐI THIỂU" #

# "Bây giờ chúng tôi vẫn phải kiểm tra x = 0." #

# "Điều này là không thể vì x * y = 0 rồi." #

# "Vì vậy, chúng tôi có giải pháp duy nhất" #

# x = y = sqrt (a) #

Câu trả lời:

Tôi sẽ cố gắng đưa bạn qua phương pháp giải pháp dưới đây.

Giải trình:

Chúng tôi đang tìm kiếm cái gì?

Hai số. Hãy cho họ tên, # x # và # y #.

Đọc lại câu hỏi.

Chúng tôi muốn làm cho tổng số căn bậc hai tối thiểu.

Điều này cho chúng ta hai điều

(1) cả hai số đều không âm (để tránh trí tưởng tượng)

(2) Chúng tôi quan tâm đến giá trị của # sqrtx + sqrty #

Đọc lại câu hỏi.

Chúng tôi cũng được cho biết rằng sản phẩm của # x # và # y # Là # a #.

Ai chọn # a #?

Nói chung, nếu một bài tập nói điều gì đó về # a # hoặc là # b # hoặc là # c #, chúng tôi lấy đó là hằng số do người khác đưa ra.

Vì vậy, chúng ta có thể được nói "sản phẩm của # x # và # y # Là #11#'

hoặc "sản phẩm của # x # và # y # Là #124#'.

Chúng tôi phải giải quyết tất cả những điều này cùng một lúc bằng cách nói # xy = a # cho một số hằng # a #.

Vì vậy, chúng tôi muốn thực hiện # sqrtx + sqrty # càng nhỏ càng tốt # xy = a # cho một số hằng # a #.

Điều này trông giống như một vấn đề tối ưu hóa và nó là một vấn đề. Vì vậy, tôi muốn một chức năng của một biến để giảm thiểu.

# sqrtx + sqrty # có hai biến # x # và # y #

# xy = a # cũng có hai biến # x # và # y # (nhớ lại # a # là một hằng số)

Vì thế #y = a / x #

Bây giờ chúng tôi muốn giảm thiểu:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Tìm đạo hàm, sau đó (các) số tới hạn và kiểm tra (các) số tới hạn. Kết thúc là tìm # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Chỉ trích # sqrta #

#f '(x) <0 # cho #x <sqrta # và #f '(x)> 0 # cho #x> sqrta #, vì thế #f (sqrta) # là tối thiểu

#x = sqrta # và #y = a / x = sqrta #

Câu trả lời:

# 2 gốc (4) (a) #

Giải trình:

Chúng tôi biết rằng cho #x_i> 0 # chúng ta có

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

sau đó

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # sau đó

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 gốc (4) (x_1x_2) #

nhưng # x_1x_2 = a # sau đó

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 gốc (4) (a) #