Nếu f (x) = x tan ^ -1 thì f (1) là gì?

Câu trả lời:

# f (1) # Ở đâu #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Giải trình:

Tôi sẽ giả sử câu hỏi là #f (1) # Ở đâu #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Thông thường tôi sẽ đối xử với # arctan # như đa trị. Nhưng ở đây với ký hiệu hàm rõ ràng #f (x) # Tôi sẽ nói rằng chúng tôi muốn giá trị chính của tiếp tuyến nghịch đảo. Góc có tiếp tuyến 1 trong góc phần tư thứ nhất là # 45 ^ tuần # hoặc là # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Đó là cái kết. Nhưng hãy đặt câu hỏi sang một bên và tập trung vào những gì #arctan t # Thực sự có nghĩa là.

Tôi thường nghĩ về #tan ^ -1 (t) # hoặc tương đương (và tôi nghĩ ký hiệu tốt hơn) #arctan (t) # như một biểu hiện đa trị. Arctan "hàm" không thực sự là một hàm, bởi vì nó là nghịch đảo của một cái gì đó định kỳ, mà thực sự không thể có nghịch đảo trên toàn bộ miền của nó.

Điều này thực sự khó hiểu cho học sinh và giáo viên. Thật bất ngờ, chúng ta có những thứ trông giống như các chức năng không thực sự hoạt động. Họ đã trượt xuống dưới radar. Các quy tắc mới là bắt buộc để xử lý chúng, nhưng chúng không bao giờ được nêu rõ ràng. Toán học bắt đầu trở nên mờ nhạt khi không nên.

# x = arctan t # được coi là giải pháp tốt nhất cho #tan x = t. # Có một số lượng vô hạn trong số họ, mỗi lần một kỳ. Tiếp tuyến có thời gian #số Pi# vì vậy các giải pháp là #số Pi# xa nhau, đó là nơi #pi k # đến từ, số nguyên # k #.

Tôi thường viết giá trị chính của tiếp tuyến nghịch đảo là Arctan, với số vốn A. Thật không may Socratic tiếp tục "sửa" nó. Tôi sẽ lấy nó ở đây:

#t = tan x # có giải pháp

#x = arctan t = văn bản {Arc} văn bản {tan} (t) + pi k quad # cho số nguyên # k #.