Phương trình của parabol có trọng tâm tại (5,3) và directrix của y = -12 là gì?

Câu trả lời:

# y = x ^ 2/30 - x / 3-11 / 3 #

Giải trình:

Định nghĩa của một parabola nói rằng tất cả các điểm trên parabol luôn có cùng khoảng cách với tiêu điểm và directrix.

Chúng ta có thể để # P = (x, y) #, sẽ đại diện cho một điểm chung trên parabol, chúng ta có thể để # F = (5,3) # đại diện cho trọng tâm và # D = (x, -12) # đại diện cho điểm gần nhất trên directrix, # x # là bởi vì điểm gần nhất trên directrix luôn luôn thẳng xuống.

Bây giờ chúng ta có thể thiết lập một phương trình với những điểm này. Chúng tôi sẽ sử dụng công thức khoảng cách để tính ra khoảng cách:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Chúng ta có thể áp dụng điều này cho các điểm của mình để trước tiên có được khoảng cách giữa # P # và # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Sau đó, chúng tôi sẽ tìm ra khoảng cách giữa # P # và # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Vì các khoảng cách này phải bằng nhau, chúng ta có thể đặt chúng vào một phương trình:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Kể từ thời điểm # P # ở dạng chung và có thể biểu thị bất kỳ điểm nào trên parabol, nếu chúng ta có thể giải quyết # y # trong phương trình, chúng ta sẽ để lại một phương trình sẽ cho chúng ta tất cả các điểm trên parabol, hay nói cách khác, nó sẽ là phương trình của parabol.

Đầu tiên, chúng ta sẽ vuông cả hai mặt:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Sau đó chúng tôi có thể mở rộng:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Nếu chúng tôi đặt mọi thứ ở bên trái và thu thập như các điều khoản, chúng tôi nhận được:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10 x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30 - x / 3-11 / 3 #

đó là phương trình của parabol của chúng tôi.