Số nào tạo ra số vô tỷ khi thêm vào 1/4?

Câu trả lời:

Bất kỳ số vô tỷ, ví dụ: #sqrt (2) #

Giải trình:

#x + 1/4 # là không hợp lý khi và chỉ khi # x # là phi lý.

Tương đương, #x + 1/4 # là hợp lý nếu và chỉ khi # x # là hợp lý.

Để chứng minh điều này, chúng ta có thể tiến hành như sau:

Đầu tiên giả sử rằng # x + 1/4 # là hợp lý.

Sau đó, có một số nguyên #p, q #, với #q> 0 # như vậy mà:

# x + 1/4 = p / q #

Trừ #1/4# từ cả hai phía, điều này trở thành:

#x = p / q - 1/4 = (4p-q) / (4q) #

đó là hợp lý.

Ngược lại, nếu # x # là hợp lý, sau đó có số nguyên #m, n # với #n> 0 # như vậy mà #x = m / n # và chúng tôi tìm thấy:

# x + 1/4 = m / n + 1/4 = (4m + n) / (4n) #

cái nào cũng hợp lý.