Giải pháp chung của phương trình vi phân y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 là gì?

Giải pháp chung của phương trình vi phân y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 là gì?
Anonim

# "Phương trình đặc trưng là:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "HOẶC" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "Đĩa của tứ giác. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "vì vậy chúng tôi có hai giải pháp phức tạp, đó là" #

#z = (1 giờ chiều (15) i) / 2 #

# "Vậy cách giải tổng quát của phương trình thuần nhất là:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Giải pháp cụ thể cho phương trình hoàn chỉnh là" #

# "y = x," #

# "Điều đó dễ thấy." #

# "Vì vậy, giải pháp hoàn chỉnh là:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Câu trả lời:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Giải trình:

Chúng ta có:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Hay cách khác:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Đây là một thứ ba thứ tự Phương trình phân biệt không đồng nhất tuyến tính với các hệ số không đổi. Cách tiếp cận tiêu chuẩn là tìm một giải pháp, #y C# của phương trình đồng nhất bằng cách xem phương trình phụ trợ, đó là phương trình đa thức với các hệ số của đạo hàm., và sau đó tìm một giải pháp riêng biệt, #y P# của phương trình không đồng nhất.

Các gốc của phương trình phụ xác định các phần của giải pháp, nếu độc lập tuyến tính thì sự chồng chất của các giải pháp tạo thành giải pháp chung đầy đủ.

  • Rễ thực sự khác biệt # m = alpha, beta, … # sẽ mang lại giải pháp độc lập tuyến tính của mẫu # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Được ^ (betax) #, …
  • Rễ lặp đi lặp lại # m = alpha #, sẽ mang lại một giải pháp của hình thức # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # trong đó đa thức có cùng mức độ lặp lại.
  • Rễ phức tạp (phải xảy ra như cặp liên hợp) # m = p + -qi # sẽ mang lại một cặp giải pháp độc lập tuyến tính của mẫu # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Giải pháp cụ thể

Để tìm một giải pháp cụ thể của phương trình không thuần nhất:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # với #f (x) = 4 # ….. C

sau đó như #f (x) # là một đa thức bậc #0#, chúng tôi sẽ tìm kiếm một giải pháp đa thức có cùng mức độ, tức là có dạng #y = a #

Tuy nhiên, một giải pháp như vậy đã tồn tại trong giải pháp CF và do đó phải xem xét một giải pháp tiềm năng của mẫu # y = rìu #, Trường hợp các hằng số # a # được xác định bằng cách thay thế và so sánh trực tiếp:

Phân biệt # y = rìu # viết # x # chúng tôi nhận được:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Thay thế các kết quả này vào DE A chúng ta nhận được:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Và do đó, chúng tôi hình thành giải pháp cụ thể:

# y_p = x #

Giải pháp chung

Sau đó dẫn đến GS của A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Lưu ý giải pháp này có #3# hằng số tích hợp và #3# các giải pháp độc lập tuyến tính, do đó tồn tại và duy nhất Định lý chồng chất của chúng là Giải pháp chung