Làm thế nào để bạn tìm thấy một đại diện chuỗi sức mạnh cho (arctan (x)) / (x) và bán kính hội tụ là gì?

Câu trả lời:

Tích hợp chuỗi lũy thừa của đạo hàm #arctan (x) # sau đó chia cho # x #.

Giải trình:

Chúng tôi biết đại diện loạt sức mạnh của # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # như vậy mà #absx <1 #. Vì thế # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Vì vậy, loạt sức mạnh của #arctan (x) # Là #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Bạn chia nó cho # x #, bạn phát hiện ra rằng chuỗi sức mạnh của #arctan (x) / x # Là #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Hãy cùng nói nào #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này, chúng tôi đánh giá #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Vì vậy, nếu chúng ta muốn chuỗi sức mạnh hội tụ, chúng ta cần #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, do đó, chuỗi sẽ hội tụ nếu #absx <1 #, điều này không có gì đáng ngạc nhiên vì đó là bán kính hội tụ của đại diện chuỗi sức mạnh của #arctan (x) #.