Làm thế nào để bạn tích hợp e ^ x * cos (x)?

Câu trả lời:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Giải trình:

Sẽ phải sử dụng tích hợp bởi các bộ phận hai lần.

Dành cho #u (x) và v (x) #, IBP được đưa ra bởi

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Để cho #u (x) = cos (x) ngụ ý u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x ngụ ý v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + màu (đỏ) (inte ^ xsin (x) dx) #

Bây giờ sử dụng IBP trên các điều khoản đỏ.

#u (x) = sin (x) ngụ ý u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x ngụ ý v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Nhóm các tích phân lại với nhau:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

vì thế

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Để cho # I = inte ^ xcosxdx #

Chúng tôi sử dụng, Quy tắc tích hợp theo từng bộ phận #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Chúng ta lấy, # u = cosx và, v = e ^ x #.

Vì thế, # (du) / dx = -sinx và, intvdx = e ^ x #. Vì thế, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Để tìm # J #, chúng tôi áp dụng Quy tắc tương tự, nhưng, bây giờ, với # u = sinx #, &, # v = e ^ x #, chúng tôi nhận được,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Gửi cái này vào #TÔI#, chúng ta có, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, I E., # 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, hoặc là, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Thưởng thức môn Toán.!

Câu trả lời:

# e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Giải trình:

Để cho # I = e ^ xcosxdx và, J = inte ^ xsinxdx #

Sử dụng IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, với,

# u = cosx và, v = e ^ x #, chúng tôi nhận được, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ xdx = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, I E., # I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Một lần nữa bởi IBP, trong # J # chúng tôi nhận được, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, do đó, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Giải quyết #(1) & (2)# cho #I và J #, chúng ta có, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, và, J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Thưởng thức môn Toán.!