Làm cách nào để tìm tích phân int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Sử dụng tích hợp theo từng phần,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Hãy nhớ rằng Tích hợp theo các phần sử dụng công thức:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Đó là dựa trên quy tắc sản phẩm cho các công cụ phái sinh:

#uv = vdu + udv #

Để sử dụng công thức này, chúng tôi phải quyết định thuật ngữ nào sẽ là # u #và đó sẽ là # dv #. Một cách hữu ích để tìm ra thuật ngữ đi đâu là ILATE phương pháp.

Trig nghịch đảo

Logarit

Đại số học

Trig

Số mũ

Điều này cung cấp cho bạn thứ tự ưu tiên trong đó thuật ngữ được sử dụng cho "# u #", vì vậy bất cứ điều gì còn lại sẽ trở thành của chúng tôi # dv #. Hàm của chúng ta chứa một # x ^ 2 # và một # sinpix #, vì vậy phương thức ILATE cho chúng ta biết rằng # x ^ 2 # nên được sử dụng như của chúng tôi # u #, vì nó là đại số và cao hơn trong danh sách hơn # sinpix #, đó là trig.

Chúng tôi hiện có:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Các mục tiếp theo chúng ta cần trong công thức là "# du #"và"# v #", mà chúng ta có được bằng cách tìm đạo hàm của"# u #"và tích phân của"# dv #'.

Đạo hàm thu được bằng cách sử dụng quy tắc lũy thừa:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Đối với tích phân, chúng ta có thể sử dụng thay thế.

sử dụng #w = pix #, chúng tôi kết thúc với # (- 1 / pi) cosw #

Chúng tôi hiện có:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Cắm vào công thức Tích hợp ban đầu của chúng tôi, chúng tôi có:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Bây giờ chúng ta còn lại một tích phân khác mà chúng ta phải sử dụng Tích hợp theo Bộ phận một lần nữa để giải quyết. Bằng cách kéo #2# ngoài tích phân, chúng ta còn lại với #u = x #, #dv = cospix #. Bằng cách trải qua quá trình tương tự trước đó, chúng tôi nhận được:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Tích phân cuối cùng này chúng ta có thể giải quyết với vòng thay thế cuối cùng, cho chúng ta:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Đặt mọi thứ chúng ta tìm thấy cùng nhau, bây giờ chúng ta có:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Bây giờ chúng ta có thể đơn giản hóa các phủ định và dấu ngoặc đơn để có câu trả lời cuối cùng:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Điều quan trọng là hãy nhớ rằng bạn sẽ kết thúc với một chuỗi nhiều thuật ngữ được thêm hoặc trừ cùng nhau. Bạn đang liên tục chia tích phân thành các phần nhỏ hơn, có thể quản lý mà bạn phải theo dõi để có câu trả lời cuối cùng.