Nghịch đảo của f (x) = -ln (arctan (x)) là gì?

Câu trả lời:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Giải trình:

Một cách điển hình để tìm một hàm nghịch đảo là đặt #y = f (x) # và sau đó giải quyết cho # x # để có được #x = f ^ -1 (y) #

Áp dụng ở đây, chúng tôi bắt đầu với

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (theo định nghĩa của # ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (theo định nghĩa của # arctan #)

Như vậy chúng ta có # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Nếu chúng tôi muốn xác nhận điều này thông qua định nghĩa # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

nhớ lấy #y = f (x) # vì vậy chúng tôi đã có

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Đối với hướng ngược lại, #f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #