Tên miền và phạm vi của f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) là gì?

Câu trả lời:

Tên miền: toàn bộ dòng thực

Phạm vi: #-0.0757,0.826#

Giải trình:

Câu hỏi này có thể được giải thích theo một trong hai cách. Hoặc chúng tôi hy vọng sẽ chỉ đối phó với dòng thực # RR #hoặc khác với phần còn lại của mặt phẳng phức # CC #. Việc sử dụng # x # như một biến số ngụ ý rằng chúng ta chỉ đang xử lý dòng thực, nhưng có một sự khác biệt thú vị giữa hai trường hợp mà tôi sẽ lưu ý.

Miền của # f # là toàn bộ tập hợp số được coi là trừ đi bất kỳ điểm nào khiến hàm bị nổ tung đến vô cùng. Điều này xảy ra khi mẫu số # x ^ 2 + 4 = 0 #, tức là khi # x ^ 2 = -4 #. Phương trình này không có giải pháp thực sự, vì vậy nếu chúng ta đang làm việc trên dòng thực, miền là toàn bộ khoảng # (- oo, + oo) #. Nếu chúng ta xem xét các giới hạn vô hạn của hàm bằng cách so sánh các số hạng hàng đầu trong tử số và mẫu số, chúng ta sẽ thấy rằng ở cả hai số nguyên, nó có xu hướng bằng 0, và vì vậy chúng ta có thể nếu chúng muốn thêm các số này vào khoảng đó để tắt nó: # - oo, + oo #.

Phương trình # x ^ 2 = -4 # tuy nhiên có hai giải pháp phức tạp #x = + - 2i #. Nếu chúng ta xem xét toàn bộ mặt phẳng phức, thì miền là toàn bộ mặt phẳng trừ hai điểm sau: # CC # # {+ - 2i} #. Như với thực tế, chúng ta có thể thêm vào vô cùng tương tự nếu chúng ta muốn.

Để xác định phạm vi # f # chúng ta cần khám phá các giá trị tối đa và tối thiểu của nó trên miền của nó. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ nói về các thực tế, vì việc xác định một sự tương tự với các mặt phẳng phức này nói chung là một loại vấn đề khác nhau đòi hỏi các công cụ toán học khác nhau.

Lấy đạo hàm đầu tiên thông qua quy tắc thương:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Chức năng # f # đạt đến một điểm cực trị hoặc một điểm uốn khi #f '(x) = 0 #, tức là khi # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Chúng tôi giải quyết điều này bằng công thức bậc hai:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Vì vậy, hàm có hai điểm như vậy.

Chúng tôi mô tả các điểm này bằng cách kiểm tra các giá trị của chúng tại đạo hàm thứ hai của # f #, mà chúng tôi thực hiện, một lần nữa thông qua quy tắc thương:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Chúng tôi biết từ phép tính gốc đạo hàm đầu tiên của chúng tôi rằng số hạng thứ hai trong tử số bằng 0 đối với hai điểm này, vì đặt giá trị đó thành 0 là phương trình chúng tôi vừa giải để tìm các số đầu vào.

Vì vậy, lưu ý rằng # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (thanh (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Khi xác định dấu hiệu của biểu thức này, chúng tôi hỏi liệu # 26> 6sqrt (13) #. Hình vuông cả hai mặt để so sánh: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Vì thế # 26-6sqrt (13) # là tích cực (và # 26 + 6sqrt (13) # thậm chí nhiều hơn như vậy).

Vì vậy, dấu hiệu của toàn bộ biểu thức đi xuống #bar (+) # ở phía trước của nó, có nghĩa là # x = -3-sqrt (13) # có #f '' (x)> 0 # (và do đó là một chức năng tối thiểu) và # x = -3 + sqrt (13) # có #f '' (x) <0 # (và do đó là một chức năng tối đa). Đã lưu ý rằng hàm có xu hướng bằng 0 tại vô cực, bây giờ chúng ta hiểu đầy đủ hình dạng của hàm.

Vì vậy, bây giờ để có được phạm vi, chúng ta phải tính các giá trị của hàm ở điểm tối thiểu và tối đa # x = -3 + -sqrt (13) #

Nhớ lại rằng #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, và như vậy

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Vì vậy, trên dòng thực # RR # chức năng #f (x) # lấy các giá trị trong phạm vi # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, mà nếu chúng ta đánh giá bằng số, sẽ đến #-0.0757,0.826#, đến ba con số quan trọng, thu được tại # x # giá trị #-6.61# và #0.606# (3 giây)

Vẽ đồ thị của hàm dưới dạng kiểm tra độ tỉnh táo:

đồ thị {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Câu trả lời:

Miền: #x bằng RR #

Phạm vi: #f (x) trong -0.075693909, + 0.825693909 màu (trắng) ("xxx") # (xấp xỉ)

Giải trình:

Được

#color (trắng) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Miền

Các miền là tất cả các giá trị của # x # mà #f (x) # được định nghĩa.

Đối với bất kỳ hàm nào được biểu thị dưới dạng đa thức chia cho đa thức, hàm được xác định cho tất cả các giá trị của # x # trong đó đa thức chia không bằng không. Kể từ khi # x ^ 2> = 0 # cho tất cả các giá trị của # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # cho tất cả các giá trị của # x #; đó là #x! = 0 # cho tất cả các giá trị của # x #; chức năng được xác định cho tất cả Real (# RR #) giá trị của # x #.

Phạm vi

Các phạm vi là một chút thú vị để phát triển.

Chúng tôi lưu ý rằng nếu một hàm liên tục có các giới hạn, đạo hàm của hàm tại các điểm dẫn đến các giới hạn đó bằng 0.

Mặc dù một số bước này có thể không quan trọng, chúng tôi sẽ thực hiện quy trình này từ các nguyên tắc khá cơ bản cho các công cụ phái sinh.

1 Quy tắc lũy thừa cho các công cụ phái sinh

Nếu #f (x) = x ^ n # sau đó # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Quy tắc tính tổng cho các công cụ phái sinh

Nếu #f (x) = r (x) + s (x) # sau đó # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Quy tắc sản phẩm cho phái sinh

Nếu #f (x) = g (x) * h (x) # sau đó # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Quy tắc chuỗi cho các công cụ phái sinh

Nếu #f (x) = p (q (x)) # sau đó # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Đối với hàm đã cho #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

chúng tôi lưu ý rằng điều này có thể được viết là #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Bởi 3 chúng ta biết

#color (trắng) ("XXX") màu (đỏ) ((df (x)) / (dx)) = color (vôi) ((d (x + 3)) / (dx)) * màu (xanh) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + màu (xanh dương) ((x + 3)) * màu (đỏ tươi) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Bởi 1 chúng ta có

#color (trắng) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

và bởi 2

#color (trắng) ("XXX") màu (vôi) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = màu (vôi) (1) #

Bởi 4 chúng ta có

#color (trắng) ("XXX") màu (đỏ tươi) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

và bởi 1 và 2

#color (trắng) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

hoặc, đơn giản hóa:

#color (trắng) ("XXXXXXXX") = color (đỏ tươi) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

cho chúng tôi

#color (trắng) ("XXX") màu (đỏ) ((df (x)) / (dx)) = color (xanh lá cây) 1 * màu (xanh dương) ((x + 4) ^ (- 1)) + màu (xanh dương) ((x + 3)) * màu (đỏ tươi) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

có thể được đơn giản hóa như

#color (trắng) ("XXX") màu (đỏ) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Như đã lưu ý (cách trở lại) điều này có nghĩa là các giá trị giới hạn sẽ xảy ra khi

#color (trắng) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (trắng) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

sau đó sử dụng công thức bậc hai (nhìn lên, Socratic đã phàn nàn về độ dài của câu trả lời này)

khi nào

#color (trắng) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Thay vì kéo dài sự đau đớn, chúng tôi chỉ cần cắm các giá trị này vào máy tính của chúng tôi (hoặc bảng tính, đó là cách tôi làm) để có được các giới hạn:

#color (trắng) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~ ~ -0.075693909 #

và

#color (trắng) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~ ~ 0.825693909 #

Câu trả lời:

Một cách đơn giản hơn để tìm phạm vi. Tên miền là #x bằng RR #. Phạm vi là #y trong -0.076, 0.826 #

Giải trình:

Tên miền là #x bằng RR # như

#AA x bằng RR #, mẫu số # x ^ 2 + 4> 0 #

Để cho # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Nhân chéo

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Đây là một phương trình bậc hai trong # x #

Có giải pháp nếu phân biệt đối xử #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Vì thế, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Các giải pháp của sự bất bình đẳng này là

# y trong (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y trong (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y trong -0.076, 0.826 #

đồ thị {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}