Làm thế nào để bạn tìm thấy đạo hàm của tan (x - y) = x?

Câu trả lời:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Giải trình:

Tôi giả sử bạn muốn tìm # (dy) / (dx) #. Đối với điều này trước tiên chúng ta cần một biểu thức cho # y # về mặt # x #. Chúng tôi lưu ý rằng vấn đề này có nhiều giải pháp khác nhau, vì #tan (x) # là một chức năng định kỳ, #tan (x-y) = x # sẽ có nhiều giải pháp. Tuy nhiên, vì chúng ta biết thời gian của hàm tiếp tuyến (#số Pi#), chúng ta có thể làm như sau: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, Ở đâu #tan ^ (- 1) # là hàm nghịch đảo của các giá trị tiếp tuyến giữa # -pi / 2 # và # pi / 2 # và yếu tố # npi # đã được thêm vào tài khoản cho tính tuần hoàn của tiếp tuyến.

Điều này cho chúng ta # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, vì thế # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, lưu ý rằng yếu tố # npi # đã biến mất. Bây giờ chúng ta cần tìm # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Điều này khá khó khăn, nhưng có thể thực hiện được bằng cách sử dụng định lý hàm ngược.

Cài đặt # u = tan ^ (- 1) x #, chúng ta có # x = tanu = sinu / cosu #, vì thế # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, sử dụng quy tắc thương và một số định danh lượng giác. Sử dụng định lý hàm nghịch đảo (nói rằng nếu # (dx) / (du) # là liên tục và khác không, chúng ta có # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), chúng ta có # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Bây giờ chúng ta cần bày tỏ # cos ^ 2u # về mặt x.

Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một số lượng giác. Cho tam giác vuông có cạnh # a, b, c # Ở đâu # c # là cạnh huyền và # a, b # kết nối với góc bên phải. Nếu # u # là góc nơi bên # c # giao nhau # a #, chúng ta có # x = tanu = b / a #. Với các biểu tượng # a, b, c # trong các phương trình, chúng tôi biểu thị de chiều dài của các cạnh này. # cosu = a / c # và sử dụng định lý Pythagoras, chúng tôi tìm thấy # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Điều này mang lại # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, vì thế # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Kể từ khi # u = tan ^ (- 1) x #, chúng ta có thể thay thế điều này vào phương trình của chúng ta cho # (dy) / (dx) # và tìm # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.