Câu trả lời:
Kiểm tra bên dưới để trả lời
Giải trình:
Dành cho # x = 0 # chúng ta có
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Chúng tôi xem xét một chức năng mới #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ##trong## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ##trong## RR #
Kết quả là # g # đang gia tăng # RR #. Do đó, vì nó tăng nghiêm ngặt # g # Là "#1-1#"(Một đối một)
Vì thế, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Chúng ta cần chứng minh rằng # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # liên tục tại # 0, x #
- # f # là khác biệt trong # (0, x) #
Theo định lý giá trị trung bình có # x_0 ##trong## (0, x) #
mà #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ##trong## RR # vì thế
bằng cách phân biệt cả hai phần chúng ta nhận được
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Chức năng # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # là khác biệt Kết quả là # f '# là khác biệt và # f # gấp 2 lần so với
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ##trong## RR #
-> # f '# đang tăng nghiêm ngặt trong # RR # nghĩa là
# x_0 ##trong## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
