Phương trình của tiếp tuyến với f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x tại x = sqrtpi là gì?

Câu trả lời:

Phương trình xấp xỉ:

#y = 3,34x - 0,27 #

Giải trình:

Để bắt đầu, chúng ta cần xác định #f '(x) #, để chúng ta biết độ dốc của #f (x) # là bất cứ lúc nào, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

sử dụng quy tắc sản phẩm:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Đây là các dẫn xuất tiêu chuẩn:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Vì vậy, phái sinh của chúng tôi trở thành:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Chèn cái đã cho # x # giá trị, độ dốc tại #sqrt (pi) # Là:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Đây là độ dốc của đường của chúng tôi tại điểm # x = sqrt (pi) #. Sau đó chúng ta có thể xác định chặn y bằng cách cài đặt:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Điều này cho chúng ta phương trình không đơn giản hóa cho dòng của chúng tôi:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Giải quyết cho b, chúng tôi kết thúc với công thức phức tạp khó chịu:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Vì vậy, dòng của chúng tôi kết thúc là:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Nếu chúng ta thực sự tính toán những hệ số lớn khó chịu này tương đương với cái gì, thì chúng ta sẽ có dòng gần đúng:

#y = 3,34x - 0,27 #