Nghịch đảo của f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) là gì?

Câu trả lời:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Giải trình:

Giả sử chúng ta đang đối phó # log_3 # như một hàm có giá trị thực và nghịch đảo của # 3 ^ x #, sau đó là miền của #f (x) # Là # (3, oo) #, vì chúng tôi yêu cầu #x> 3 # để # log_3 (x-3) # được định nghĩa.

Để cho #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Sau đó:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Vì thế:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Vì thế:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Vì thế:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Trong thực tế, nó phải là căn bậc hai dương kể từ:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Vì thế:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Vì thế:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #