Làm thế nào để bạn chứng minh arcsin x + arccos x = pi / 2?

Câu trả lời:

như được hiển thị

Giải trình:

Để cho

# arcsinx = theta #

sau đó

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Câu trả lời:

Câu lệnh này đúng khi các hàm trig nghịch đảo tham chiếu đến các giá trị chính, nhưng điều đó đòi hỏi sự chú ý cẩn thận hơn để hiển thị so với câu trả lời khác cung cấp.

Khi các hàm trig nghịch đảo được coi là đa trị, chúng ta sẽ nhận được một kết quả nhiều sắc thái hơn, ví dụ

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # nhưng #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Chúng ta phải trừ đi để có được # pi / 2 #.

Giải trình:

Điều này là khó khăn hơn nó trông. Câu trả lời khác không trả cho nó sự tôn trọng thích hợp.

Một quy ước chung là sử dụng chữ nhỏ #arccos (x) # và #arcsin (x) # dưới dạng biểu thức đa trị, mỗi biểu thức tương ứng chỉ ra tất cả các giá trị mà cosin hoặc sin có giá trị đã cho # x #.

Ý nghĩa của tổng của những thứ đó thực sự là mọi sự kết hợp có thể, và những thứ đó sẽ không bao giờ cho # pi / 2. # Họ thậm chí sẽ không luôn đưa ra một trong những góc cạnh # pi / 2 + 2pi k quad # số nguyên # k #, như bây giờ chúng tôi sẽ hiển thị.

Trước tiên chúng ta hãy xem nó hoạt động như thế nào với các hàm nghịch đảo đa trị. Nhớ chung # cos x = cos a # có giải pháp # x = chiều a + 2pi k quad # số nguyên # k #.

# c = arccos x # Thực sự có nghĩa là

#x = cos c #

#s = arcsin x # Thực sự có nghĩa là

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # đang đóng vai trò của một tham số thực sự quét từ #-1# đến #1#. Chúng tôi muốn giải quyết cho # y #, tìm tất cả các giá trị có thể của # y # trong đó có một #x, s # và # c # điều đó làm cho các phương trình đồng thời #x = cos c, x = sin s, y = s + c # thật.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Chúng tôi sử dụng giải pháp chung trên của chúng tôi về sự bình đẳng của vũ trụ.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # số nguyên # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Vì vậy, chúng tôi nhận được kết quả mơ hồ hơn nhiều, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Được phép lật bảng hiệu # k. #)

Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào các giá trị chính mà tôi viết bằng chữ in hoa:

Chỉ #text {Arc} văn bản {sin} (x) + văn bản {Arc} văn bản {cos} (x) = pi / 2 #

Tuyên bố này thực sự đúng với các giá trị chính được xác định theo cách thông thường.

Tổng chỉ được xác định (cho đến khi chúng tôi nhận được khá sâu vào số phức) cho # -1 le x le 1 # bởi vì các sin và cosin hợp lệ nằm trong phạm vi đó.

Chúng ta sẽ nhìn vào mỗi bên của tương đương

# văn bản {Arc} văn bản {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) #

Chúng ta sẽ lấy cosin của cả hai bên.

#cos (văn bản {Arc} văn bản {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x)) = sin (văn bản {Arc} văn bản {sin} (x)) = x #

Vì vậy, không phải lo lắng về các dấu hiệu hoặc giá trị chính, chúng tôi chắc chắn

#cos (văn bản {Arc} văn bản {cos} (x)) = cos (pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x)) #

Phần khó khăn, phần đáng được tôn trọng, là bước tiếp theo:

#text {Arc} văn bản {cos} (x) = pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) quad # CHƯA CHẮC NỮA

Chúng tôi phải bước cẩn thận. Hãy tích cực và tiêu cực # x # riêng biệt.

Đầu tiên # 0 le x le 1 #. Điều đó có nghĩa là các giá trị chính của cả hai hàm trig nghịch đảo nằm trong góc phần tư thứ nhất, giữa #0# và # pi / 2. # Bị ràng buộc với góc phần tư thứ nhất, các cosin bằng nhau ngụ ý các góc bằng nhau, vì vậy chúng tôi kết luận cho #x ge 0, #

#text {Arc} văn bản {cos} (x) = pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) quad #

Hiện nay # -1 le x <0. Giá trị chính của dấu nghịch đảo nằm ở góc phần tư thứ tư và #x <0 # chúng tôi thường xác định giá trị chính trong phạm vi

# - pi / 2 le văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) le pi #

Giá trị chính cho cosin nghịch đảo âm là góc phần tư thứ hai, # pi / 2 <văn bản {Arc} văn bản {cos} (x) le pi #

Vì vậy, chúng ta có hai góc trong góc phần tư thứ hai có cosin bằng nhau và chúng ta có thể kết luận các góc bằng nhau. Dành cho #x <0 #, #text {Arc} văn bản {cos} (x) = pi / 2 - văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) quad #

Dù bằng cách nào, # văn bản {Arc} văn bản {sin} (x) + văn bản {Arc} văn bản {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #