Với f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) phương trình của đường tiếp tuyến tại x = pi là gì?

Câu trả lời:

# y = 1.8276x-3.7 #

Giải trình:

Bạn phải tìm đạo hàm:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

Trong trường hợp này, đạo hàm của hàm lượng giác thực sự là sự kết hợp của 3 hàm cơ bản. Đó là:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

Cách thức này sẽ được giải quyết như sau:

# (sin ^ 3 (x / 3)) '= 3 giây ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3 giây ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3 giây ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Vì thế:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Đạo hàm của phương trình tiếp tuyến:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Thay thế các giá trị sau:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2.0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1.8276 #

Do đó, phương trình trở thành:

# y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# y = 1.8276x-3.7 #

Trong biểu đồ bên dưới, bạn có thể thấy điều đó tại # x = π = 3,14 # tiếp tuyến thực sự đang tăng và sẽ giao với trục y'y tại #y <0 #

đồ thị {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0.373, 5.176}