Chứng tỏ rằng 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... đến vô cùng = 3 ^ (3/4) .how?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

với

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Chúng ta biết rằng #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

và cũng cho #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # và # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # sau đó

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # va cho #x = 1/3 # chúng ta có

#S = 3/4 # rồi cuối cùng

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #