Làm thế nào để tôi tích hợp này?

Câu trả lời:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3 giây (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Giải trình:

Chúng tôi muốn giải quyết

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Hãy thử vấn đề chung hơn

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Nơi chúng tôi tìm kiếm giải pháp

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Bí quyết là sử dụng tích hợp bởi các bộ phận hai lần

# intudv = uv-intvdu #

Để cho # u = e ^ (rìu) # và # dv = cos (bx) dx #

Sau đó # du = ae ^ (ax) dx # và # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Áp dụng tích hợp bởi các bộ phận cho tích phân còn lại

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Để cho # u = e ^ (rìu) # và # dv = sin (bx) dx #

Sau đó # du = ae ^ (ax) dx # và # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Thay thế này vào tích phân ban đầu và giải quyết cho # I_1 #, nó hơi dài, nhưng chúng tôi thực hiện từng bước

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (be ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Đối với vấn đề của bạn # a = ln (2) # và # b = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3 giây (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Hy vọng không có nhiều sai lầm

Xem câu trả lời dưới đây: chúng tôi đã giải quyết bằng cách sử dụng các phần tử rời rạc thay vì công thức chung và chúng tôi đã không đơn giản hóa kết quả cuối cùng, như sau: