Chỉnh hình của một tam giác có các góc tại (9, 5), (3, 8) và (5, 6) là gì?

Câu trả lời:

Các bước: (1) tìm độ dốc của 2 cạnh, (2) tìm độ dốc của các đường thẳng vuông góc với các cạnh đó, (3) tìm phương trình của các đường thẳng với các sườn đi qua các đỉnh đối diện, (4) tìm điểm mà các đường đó giao nhau, đó là orthocenter, trong trường hợp này #(6.67, 2.67)#.

Giải trình:

Để tìm trực giao của một tam giác, chúng ta tìm các sườn (độ dốc) của hai cạnh của nó, sau đó phương trình của các đường thẳng vuông góc với các cạnh đó.

Chúng ta có thể sử dụng các độ dốc cộng với tọa độ của điểm đối diện với cạnh có liên quan để tìm phương trình của các đường vuông góc với các cạnh đi qua góc đối diện: chúng được gọi là 'độ cao' cho các cạnh.

Trong đó độ cao cho hai bên giao nhau là trực giao (độ cao cho bên thứ ba cũng sẽ đi qua điểm này).

Hãy gắn nhãn các điểm của chúng tôi để làm cho việc tham khảo chúng dễ dàng hơn:

Điểm A = #(9, 5)#

Điểm B = #(3, 8)#

Điểm C = #(5, 6)#

Để tìm độ dốc, sử dụng công thức:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Mặc dù vậy, chúng ta không muốn các độ dốc này, nhưng độ dốc của các đường vuông góc (ở góc phải) với chúng. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dốc # m # có độ dốc # -1 / m #, do đó đường thẳng vuông góc với # AB # có độ dốc #-2# và đường thẳng vuông góc với # BC # có độ dốc #1#.

Bây giờ chúng ta có thể tìm các phương trình của độ cao của Điểm C (đối diện AB) và Điểm A (đối diện BC) tương ứng bằng cách thay thế tọa độ của các điểm đó thành phương trình

# y = mx + c #

Đối với điểm C, độ cao là:

# 6 = -2 (5) + c # cái nào cho # c = 6 + 10 = 16 # vì thế #y = -2x + 16 #

Tương tự, đối với Điểm A:

# 5 = 1 (9) + c # cái nào cho # c = 5-9 = -4 # vậy phương trình là:

# y = x-4 #

Để tìm orthocenter, chúng ta chỉ cần tìm điểm mà hai đường thẳng này giao nhau. Chúng ta có thể đánh đồng chúng với nhau:

# -2x + 16 = x-4 #

Sắp xếp lại, # 3x = 20 đến x ~ ~ 6,67 #

Thay vào một trong hai phương trình để tìm # y # giá trị, đó là #2.67#.

Do đó, orthocenter là điểm #(6.67, 2.67)#.