Câu hỏi # e8ab5

Câu trả lời:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Giải trình:

Đầu tiên, hãy nhớ lại những gì #cos (x + y) # Là:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Lưu ý rằng:

# (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

Và:

# (cosx + ấm cúng) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Bây giờ chúng ta có hai phương trình:

# sin ^ 2x + 2 giây + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Nếu chúng ta thêm chúng lại với nhau, chúng ta có:

# sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Đừng để kích thước của phương trình này ném bạn đi. Tìm kiếm danh tính và đơn giản hóa:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Kể từ khi # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Bản sắc Pythagore) và # cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Bản sắc Pythagore), chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình để:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Chúng ta có thể tìm ra một #2# hai lần:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Và chia:

# (sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

Và trừ đi:

# sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Cuối cùng, kể từ khi #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, chúng ta có:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Được

# sinx + siny = a ……. (1) #

# cosx + ấm cúng = b ……. (2) #

Bình phương và thêm (1) & (2)

# (cosx + ấm cúng) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Bình phương và trừ (1) từ (2)

# (cosx + ấm cúng) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Từ (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Câu trả lời:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Giải trình:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + ấm cúng = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

Chia #(1)# bởi #(2)#, chúng ta có, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Hiện nay, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Thưởng thức môn Toán.!