Làm cách nào để tìm tích phân int (ln (x)) ^ 2dx?

Mục tiêu của chúng tôi là giảm sức mạnh của #ln x # do đó tích phân dễ đánh giá hơn.

Chúng ta có thể thực hiện điều này bằng cách sử dụng tích hợp bởi các bộ phận. Hãy ghi nhớ công thức IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Bây giờ, chúng tôi sẽ cho #u = (lnx) ^ 2 #và #v = dx #.

Vì thế, #du = (2lnx) / x dx #

và

#v = x #.

Bây giờ, lắp ráp các mảnh lại với nhau, chúng ta có được:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Tích phân mới này trông tốt hơn rất nhiều! Đơn giản hóa một chút và đưa ra phía trước liên tục, mang lại:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Bây giờ, để loại bỏ tích phân tiếp theo này, chúng tôi sẽ thực hiện tích hợp thứ hai theo từng phần, cho phép #u = ln x # và #v = dx #.

Như vậy #du = 1 / x dx # và #v = x #.

Lắp ráp cho chúng ta:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Bây giờ, tất cả những gì còn lại phải làm là đơn giản hóa, ghi nhớ để thêm hằng số tích hợp:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Và chúng tôi đã có nó. Hãy nhớ rằng, tích hợp bởi các bộ phận là tất cả về việc chọn # u # để những thứ lộn xộn được loại bỏ khỏi integrand. Trong trường hợp này, chúng tôi đã mang # (ln x) ^ 2 # xuống #ln x #và sau đó xuống # 1 / x #. Cuối cùng, một số # x #Đã hủy bỏ, và nó trở nên dễ dàng hơn để tích hợp.