Các lỗi phổ biến mà học sinh mắc phải với dấu chấm lửng ở dạng chuẩn là gì?

Biểu mẫu Tiêu chuẩn cho hình elip (như tôi dạy) trông giống như: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) là trung tâm.

khoảng cách "a" = khoảng cách phải / trái để di chuyển từ tâm để tìm các điểm cuối nằm ngang.

khoảng cách "b" = khoảng cách lên / xuống để di chuyển từ tâm để tìm các điểm cuối dọc.

Tôi nghĩ rằng thường sinh viên sẽ nghĩ sai rằng # a ^ 2 # là bao xa để di chuyển khỏi trung tâm để xác định vị trí các điểm cuối. Đôi khi, đây sẽ là một khoảng cách rất lớn để đi du lịch!

Ngoài ra, tôi nghĩ rằng đôi khi sinh viên nhầm lẫn di chuyển lên / xuống thay vì phải / trái khi áp dụng các công thức này cho các vấn đề của họ.

Đây là một ví dụ để nói về:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Trung tâm là (1, -4). Bạn nên di chuyển sang phải và trái "a" = 2 đơn vị để có được các điểm cuối ngang tại (3, -4) và (-1, -4). (xem hình)

Bạn nên di chuyển lên và xuống "b" = 3 đơn vị để có được các điểm cuối dọc tại (1, -1) và (1, -7). (xem hình)

Vì a <b, trục chính sẽ theo hướng dọc.

Nếu a> b, trục chính sẽ đi theo hướng ngang!

Nếu bạn cần tìm hiểu bất kỳ thông tin nào khác về dấu chấm lửng, hãy hỏi một câu hỏi khác!

(Nhầm lẫn về việc liệu # a # và # b # đại diện cho bán kính chính / phụ hoặc # x #- & # y #-radii)

Nhớ lại rằng hình thức tiêu chuẩn cho một hình elip tập trung tại nguồn gốc Là

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Tuy nhiên, một số sẽ có vấn đề với công thức được liệt kê ở trên. Một số trường phái cho rằng # a # phải luôn luôn lớn hơn # b # và do đó đại diện cho chiều dài của bán kính chính (ngay cả khi bán kính chính nằm theo hướng dọc, do đó cho phép # y ^ 2 / a ^ 2 # trong trường hợp như vậy), trong khi những người khác cho rằng nó phải luôn đại diện cho # x #-radius (ngay cả khi # x #-radius là bán kính nhỏ).

Điều tương tự cũng đúng với # b #, mặc dù ngược lại. (tức là một số người tin rằng # b # phải luôn là bán kính nhỏ và những người khác tin rằng nó phải luôn là # y #-radius).

Hãy chắc chắn rằng bạn biết phương pháp mà người hướng dẫn của bạn (hoặc chương trình bạn đang sử dụng) thích. Nếu không có sở thích mạnh mẽ nào tồn tại, thì bạn chỉ cần tự quyết định, nhưng phù hợp với quyết định của bạn. Thay đổi suy nghĩ của bạn một nửa trong bài tập sẽ khiến mọi thứ không rõ ràng và thay đổi suy nghĩ của bạn một nửa vấn đề sẽ chỉ dẫn đến sai lầm.

(Bán kính / trục nhầm)

Phần lớn các lỗi trong các hình elip dường như xuất phát từ sự nhầm lẫn này là bán kính nào là chính và là nhỏ. Những sai lầm khác có thể xảy ra nếu người ta nhầm lẫn bán kính chính với trục chính (hoặc bán kính phụ với trục phụ). Trục chính (hoặc phụ) bằng hai lần bán kính chính (hoặc phụ), vì thực chất nó là đường kính chính (hoặc phụ). Tùy thuộc vào bước xảy ra sự nhầm lẫn này, điều này có thể dẫn đến các lỗi nghiêm trọng về tỷ lệ cho hình elip.

(Bán kính / bán kính bình phương nhầm lẫn)

Một lỗi tương tự xảy ra khi học sinh quên rằng mẫu số (# a ^ 2, b ^ 2 #) là các hình vuông của bán kính, và không phải là bán kính. Không có gì lạ khi thấy một học sinh có vấn đề như # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # vẽ một hình elip với # x #-radius 9 và # y #-radius 4. Hơn nữa, điều này có thể xảy ra cùng với sai lầm trên (nhầm lẫn bán kính cho đường kính), dẫn đến kết quả như một học sinh có phương trình trên vẽ một hình elip có đường kính chính 9 (và do đó bán kính chính 4,5), thay vì đúng đường kính chính 6 (và bán kính chính 3).

(Hyperbola và Ellipse nhầm lẫn) CẢNH BÁO: Câu trả lời khá dài

Một lỗi tương đối phổ biến khác xảy ra nếu một người nhớ sai công thức cho hình elip. Cụ thể, lỗi phổ biến nhất trong số các lỗi này dường như xảy ra khi người ta nhầm lẫn công thức của dấu chấm lửng với lỗi hyperbol (mà, nhớ lại, là # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # hoặc là # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # đối với những người tập trung ở điểm gốc, một lần nữa tuân theo các quy ước ghi nhãn trục được liệt kê ở trên). Đối với điều này, nó giúp ghi nhớ định nghĩa của hình elip và hyperbol như các phần hình nón.

Cụ thể, nhớ lại rằng một hình elip là quỹ tích của các điểm liên quan đến hai tiêu điểm # f_1 & f_2 # nằm dọc theo trục chính sao cho một điểm tùy ý # p # trên quỹ tích, khoảng cách từ # p # đến # f_1 # (dán nhãn # d_1 #) cộng với khoảng cách từ # p # đến # f_2 # (dán nhãn # d_2 #) bằng hai lần bán kính chính (tức là, nếu # a # là bán kính chính, # d_1 + d_2 = 2a #). Hơn nữa, khoảng cách từ trung tâm đến một trong hai tiêu điểm này (đôi khi được gọi là tách nửa tiêu cự hoặc là độ lệch tuyến tính), giả định # a # là bán kính chính, bằng #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Ngược lại, một hyperbola là quỹ tích của các điểm liên quan đến hai tiêu điểm theo cách mà đối với một điểm # p # trên quỹ tích, giá trị tuyệt đối của Sự khác biệt giữa khoảng cách của điểm đến tiêu điểm thứ nhất và khoảng cách của điểm đến tiêu điểm thứ hai bằng hai lần bán kính chính (nghĩa là với # a # bán kính chính, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Hơn nữa, khoảng cách từ trung tâm của hyperbola đến một trong hai tiêu điểm này (một lần nữa, đôi khi được gọi là độ lệch tâm tuyến tính, và vẫn giả định # a # bán kính chính) bằng #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Liên quan đến định nghĩa của các phần hình nón, tổng thể lập dị # e # của một phần xác định xem đó là một vòng tròn (# e = 0 #), hình elip (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #) hoặc hyperbola (#e> 1 #). Đối với elip và hyperbol, độ lệch tâm có thể được tính bằng tỷ lệ của độ lệch tâm tuyến tính với chiều dài của bán kính chính; do đó, đối với một hình elip, nó sẽ là #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (và do đó nhất thiết phải nhỏ hơn 1) và đối với một hyperbola, nó sẽ là #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (và do đó nhất thiết phải lớn hơn 1).