Làm thế nào để bạn chứng minh: secx - cosx = sinx tanx?

Sử dụng định nghĩa của # giây và # tanx #, cùng với danh tính

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, chúng ta có

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Câu trả lời:

Đầu tiên chuyển đổi tất cả các điều khoản thành # sinx # và # cosx #.

Thứ hai áp dụng quy tắc tổng phân số cho LHS.

Cuối cùng, chúng tôi áp dụng bản sắc Pythagore: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Giải trình:

Đầu tiên trong các câu hỏi của các hình thức này, một ý tưởng tốt là chuyển đổi tất cả các thuật ngữ thành sin và cosine: vì vậy, thay thế #tan x # với #sin x / cos x #

và thay thế #sec x # với # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # trở thành # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # trở thành #sin x sin x / cos x # hoặc là # sin ^ 2 x / cos x #.

Bây giờ chúng tôi áp dụng quy tắc tổng phân số cho LHS, tạo cơ sở chung (giống như phân số số như #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Cuối cùng, chúng tôi áp dụng bản sắc Pythagore: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (một trong những danh tính hữu ích nhất cho các loại vấn đề này).

Bằng cách sắp xếp lại chúng tôi nhận được # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Chúng tôi thay thế # 1- cos ^ 2 x # trong LHS với # tội ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # tương đương với RHS sửa đổi.

Do đó LHS = RHS Q.E.D.

Lưu ý mô hình chung này về việc đưa mọi thứ vào các điều khoản của sin và cosin, sử dụng các quy tắc phân số và danh tính Pythagore, thường giải quyết các loại câu hỏi này.

Nếu chúng ta mong muốn như vậy, chúng ta cũng có thể sửa đổi phía bên phải để phù hợp với phía bên trái.

Chúng ta nên viết # sinxtanx # về mặt # sinx # và # cosx #, sử dụng danh tính # màu (đỏ) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Bây giờ, chúng tôi sử dụng danh tính Pythagore, đó là # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Chúng tôi có thể sửa đổi điều này để giải quyết cho # tội ^ 2x #, vì thế: # màu (đỏ) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Bây giờ, chỉ cần tách số tử số:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Sử dụng danh tính đối ứng # màu (đỏ) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Câu trả lời:

Nó thực sự đơn giản …

Giải trình:

Sử dụng danh tính # tanx = sinx / cosx #, nhân lên # sinx # vào danh tính để có được:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Sau đó, nhân lên # cosx # thông qua các phương trình để mang lại:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Xem xét rằng # giây là nghịch đảo của # cosx #.

Cuối cùng, sử dụng danh tính lượng giác # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, câu trả lời cuối cùng sẽ là:

# sin ^ 2x = tội ^ 2x #