Chúng ta có một nửa mái hình trụ có bán kính r và chiều cao r được gắn trên bốn bức tường hình chữ nhật có chiều cao h. Chúng tôi có 200π m ^ 2 tấm nhựa được sử dụng để xây dựng cấu trúc này. Giá trị của r cho phép âm lượng tối đa là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# r = 20 / sqrt (3) = (20 giây (3)) / 3 #

Giải trình:

Hãy để tôi nói lại câu hỏi khi tôi hiểu nó.

Với điều kiện diện tích bề mặt của vật thể này là # 200pi #, tối đa hóa âm lượng.

Kế hoạch

Biết diện tích bề mặt, chúng ta có thể biểu thị chiều cao # h # như một hàm của bán kính # r #, sau đó chúng ta có thể biểu diễn âm lượng là một hàm chỉ có một tham số - bán kính # r #.

Chức năng này cần được tối đa hóa bằng cách sử dụng # r # như một tham số. Điều đó mang lại giá trị của # r #.

Diện tích bề mặt chứa:

4 bức tường tạo thành một mặt bên của một hình song song với chu vi của một cơ sở # 6r # và chiều cao # h #, có tổng diện tích # 6rh #.

1 mái nhà, một nửa bề mặt bên của hình trụ có bán kính # r # và cao # r #, có diện tích #pi r ^ 2 #

2 mặt mái, hình bán nguyệt # r #, tổng diện tích là #pi r ^ 2 #.

Tổng diện tích bề mặt của một vật thể là

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Biết điều này tương đương với # 200pi #, chúng ta có thể bày tỏ # h # về mặt # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-cướp biển ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Âm lượng của vật thể này có hai phần: Bên dưới mái và bên trong mái.

Bên dưới mái nhà chúng ta có một đường song song với diện tích của căn cứ # 2r ^ 2 # và chiều cao # h #, đó là khối lượng của nó là

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Trong mái nhà chúng ta có một nửa hình trụ có bán kính # r # và chiều cao # r #, khối lượng của nó là

# V_2 = 1 / 2p ^ 3 #

Chúng ta phải tối đa hóa chức năng

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

trông như thế này (không theo tỷ lệ)

đồ thị {2x-0,6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Hàm này đạt cực đại khi đạo hàm của nó bằng 0 cho một đối số dương.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Trong khu vực của #r> 0 # nó bằng không khi # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Đó là bán kính cho thể tích lớn nhất, với diện tích bề mặt và hình dạng của một vật thể.