Làm thế nào để bạn tích hợp int sec ^ -1x bằng cách tích hợp theo phương thức bộ phận?

Câu trả lời:

Câu trả lời là # = x "cung" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Giải trình:

Chúng ta cần

# (giây ^ -1x) '= ("vòng cung" giây)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Tích hợp bởi các bộ phận là

# intu'v = uv-intuv '#

Ở đây chúng tôi có

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "vòng cung" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Vì thế, #int "cung" secxdx = x "cung" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Thực hiện tích phân thứ hai bằng cách thay thế

Để cho # x = giây #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (giây ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((giây ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Để cho # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (giây ^ 2u + secutanu) du #

Vì thế, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Cuối cùng, #int "cung" secxdx = x "cung" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Câu trả lời:

#int giây ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Giải trình:

Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng một công thức ít được biết đến để tìm ra các tích phân của các hàm nghịch đảo. Công thức nêu rõ:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

Ở đâu # f ^ -1 (x) # là nghịch đảo của #f (x) # và #F (x) # là chất chống đạo hàm của #f (x) #.

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi nhận được:

#int giây ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (giây ^ -1 (x)) + C #

Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần làm là chống đạo hàm # F #, đó là tích phân secant quen thuộc:

#int giây (x) dx = ln | giây (x) + tan (x) | + C #

Cắm lại công thức này cho câu trả lời cuối cùng của chúng tôi:

#int giây ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | giây (giây ^ -1 (x)) + tan (giây ^ -1 (x)) | + C #

Chúng ta cần cẩn thận về việc đơn giản hóa #tan (giây ^ -1 (x)) # đến #sqrt (x ^ 2-1) # bởi vì danh tính chỉ có giá trị nếu # x # tích cực. Tuy nhiên, chúng tôi rất may mắn vì chúng tôi có thể khắc phục điều này bằng cách đặt một giá trị tuyệt đối cho thuật ngữ khác bên trong logarit. Điều này cũng loại bỏ sự cần thiết của giá trị tuyệt đối đầu tiên, vì mọi thứ bên trong logarit sẽ luôn dương:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #