Một tam giác có các đỉnh A (a, b), C (c, d) và O (0, 0). Phương trình và diện tích của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Câu trả lời:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s tứ giác # Ở đâu

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (quảng cáo-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (quảng cáo-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (quảng cáo-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Giải trình:

Tôi khái quát câu hỏi; Hãy xem mọi thứ diễn ra như thế nào. Tôi đã để lại một đỉnh ở điểm gốc, điều này làm cho nó bớt lộn xộn hơn và một tam giác tùy ý dễ dàng được dịch.

Tam giác tất nhiên là không cần thiết cho vấn đề này. Vòng tròn được bao quanh là vòng tròn qua ba điểm, xảy ra là ba đỉnh. Hình tam giác làm xuất hiện bất ngờ trong giải pháp.

Một số thuật ngữ: vòng tròn được đăng ký được gọi là tam giác vòng tròn và trung tâm của nó là tam giác cắt bao quy đầu.

Phương trình tổng quát cho đường tròn có tâm # (p, q) # và bán kính bình phương #S# Là

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

và diện tích của hình tròn là #A = pi s. #

Chúng tôi có ba ẩn số # p, q, s # và chúng tôi biết ba điểm, vì vậy chúng tôi nhận được ba phương trình:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # bởi vì nguồn gốc là trên vòng tròn.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Hãy giải các phương trình đồng thời. Chúng ta hãy biến chúng thành hai phương trình tuyến tính bằng cách mở rộng và trừ các cặp, số tiền bị mất # p ^ 2 + q ^ 2 # bên trái và #S# Phía bên phải.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Trừ đi, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Tương tự như vậy, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Đó là hai phương trình trong hai ẩn số. # AX = K # có giải pháp # X = A ^ {- 1} K. # Tôi nhớ hai ma trận nghịch đảo mà tôi không biết cách định dạng, #A ^ {- 1} = 1 / {quảng cáo-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Đối với chúng tôi điều đó có nghĩa là

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (quảng cáo-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (quảng cáo-bc)} #

và bán kính bình phương là

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (quảng cáo-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (quảng cáo-b c) ^ 2) #

một khu vực của #số Pi# nhân số tiền đó

Chúng ta có thể thấy biểu thức trở nên cân xứng hơn nếu chúng ta xem xét những gì xảy ra cho tam giác tùy ý # (A, B), (C, D), (E, F). # Chúng tôi thiết lập # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # nhưng tôi sẽ không làm việc đó ngay bây giờ.

Tôi sẽ lưu ý tử số của #S# là tích của ba độ dài bình phương của các cạnh của tam giác và mẫu số của #S# là mười sáu lần diện tích bình phương của tam giác.

Trong Rational Trigonometry độ dài bình phương được gọi là bậc hai và mười sáu lần diện tích bình phương được gọi là tứ giác. Chúng tôi đã tìm thấy tứ giác bán kính của đường tròn là tích của các tứ giác của tam giác chia cho tứ giác của nó.

Nếu chúng ta chỉ cần bán kính hoặc diện tích của đường tròn, chúng ta có thể tóm tắt kết quả ở đây là:

Bán kính bình phương của đường tròn là tích của độ dài bình phương của tam giác chia cho mười sáu lần diện tích bình phương của tam giác.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #