Kiểm tra f cho độ lõm?

Câu trả lời:

# f # là lồi trong # RR #

Giải trình:

Tôi đã giải quyết nó.

# f # là 2 lần khác biệt trong # RR # vì thế # f # và # f '# liên tục trong # RR #

Chúng ta có # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Phân biệt cả hai phần chúng ta nhận được

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # vì thế #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Chúng ta cần dấu của tử số để chúng ta xem xét một hàm mới

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##trong## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Chúng tôi nhận thấy rằng #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Dành cho # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Dành cho # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Cuối cùng chúng tôi cũng nhận được bảng này cho thấy sự đơn điệu của # g #

Giả sử # I_1 = (- oo, 0 # và # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

bởi vì

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Sử dụng định lý bóp / sandwich chúng ta có

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Vì thế, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Với quá trình tương tự, chúng tôi kết thúc

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Tuy nhiên, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Vì thế, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Phạm vi của # g # sẽ là:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # vì thế # g # không có nguồn gốc từ # RR #

  # g # là liên tục trong # RR # và không có giải pháp. Vì thế, # g # bảo tồn đăng nhập # RR #

Điêu đo co nghia la

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Như vậy #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Kết quả là #g (x)> 0 #, # x ##trong## RR #

Và #f '' (x)> 0 #, # x ##trong## RR #

#-># # f # là lồi trong # RR #

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Được #y = f (x) # bán kính cong đường cong được cho bởi

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # được đưa ra

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # chúng ta có

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # hoặc là

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # hoặc là

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # hoặc là

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

hiện đang phân tích #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # chúng ta có

#min g (x) = 0 # cho #x bằng RR # vì thế #g (x) ge 0 # và sau đó độ cong trong

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # không thay đổi dấu hiệu để chúng tôi kết luận rằng #f (x) # biểu tượng là lồi trong # RR #