Các tiệm cận và lỗ (s), nếu có, của f (x) = xsin (1 / x) là gì?

Câu trả lời:

Tham khảo bên dưới.

Giải trình:

Chà, rõ ràng là có một lỗ ở # x = 0 #, kể từ khi chia #0# là không thể

Chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm:

đồ thị {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Không có tiệm cận hoặc lỗ khác.

Câu trả lời:

#f (x) # có một lỗ (gián đoạn có thể tháo rời) tại # x = 0 #.

Nó cũng có một tiệm cận ngang # y = 1 #.

Nó không có tiệm cận đứng hoặc nghiêng.

Giải trình:

Được:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Tôi sẽ sử dụng một vài thuộc tính của #sin (t) #, cụ thể là:

• #abs (sin t) <= 1 "" # cho tất cả các giá trị thực của # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # cho tất cả các giá trị của # t #.

Lưu ý đầu tiên rằng #f (x) # là một hàm chẵn:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Chúng ta tìm thấy:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Vì thế:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Vì đây là #0#, cũng vậy #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Ngoài ra, kể từ #f (x) # là chẵn

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Lưu ý rằng #f (0) # là không xác định, vì nó liên quan đến phân chia bởi #0#, nhưng cả hai giới hạn trái và phải tồn tại và đồng ý tại # x = 0 #, vì vậy nó có một lỗ (gián đoạn có thể tháo rời) ở đó.

Chúng tôi cũng tìm thấy:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Tương tự:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Vì thế #f (x) # có một tiệm cận ngang # y = 1 #

đồ thị {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}