Vui lòng giải quyết điều này? lựa chọn nào là đúng?

Điều này dễ dàng được xem là không thể thực hiện được bằng các phương tiện cơ bản, vì vậy tôi chỉ giải quyết nó bằng số và có:

Tôi đã đánh giá tích phân cho #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Đến lúc đó nó đã đạt được rõ ràng #0.5#.

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

hoặc là

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Bây giờ giả sử rằng một trong những câu trả lời là đúng, tự nhiên nhất dường như là câu thứ tư)

CHÚ THÍCH

cho #x trong 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Câu trả lời:

#1/2#

Giải trình:

Như đã được chỉ ra trong một giải pháp trước đó, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

tồn tại và bị ràng buộc:

# 1/2 le I_n <1 #

Bây giờ tích hợp bởi năng suất bộ phận

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n lần (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Bây giờ, kể từ # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # trong #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Kể từ khi #lim_ (n đến oo) I_n # tồn tại, chúng ta có

#lim_ (n đến oo) J_n = lim_ (n đến oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n đến oo) 2 / (n + 2) lần lim_ (n đến oo) I_ (n + 2) = 0 #

Vì thế

# lim_ (n đến oo) I_n = 1/2 #