Câu trả lời:
# dy / dx = -20 / 21 #
Giải trình:
Bạn sẽ cần phải biết những điều cơ bản của sự khác biệt ngầm cho vấn đề này.
Chúng ta biết độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm là đạo hàm; vì vậy bước đầu tiên sẽ là lấy đạo hàm. Hãy làm từng mảnh một, bắt đầu với:
# d / dx (3y ^ 2) #
Điều này không quá khó; bạn chỉ cần áp dụng quy tắc chuỗi và quy tắc sức mạnh:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Bây giờ, vào # 4xy #. Chúng ta sẽ cần các quy tắc về sức mạnh, chuỗi và sản phẩm cho quy tắc này:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Quy tắc nhân: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Được rồi, cuối cùng # x ^ 2y # (thêm quy tắc sản phẩm, sức mạnh và chuỗi):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Bây giờ chúng tôi đã tìm thấy tất cả các dẫn xuất của chúng tôi, chúng tôi có thể diễn đạt vấn đề như:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Hãy nhớ đạo hàm của một hằng số là #0#).
Bây giờ chúng tôi thu thập các điều khoản với # dy / dx # ở một bên và di chuyển mọi thứ khác sang bên kia:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Tất cả những gì còn lại phải làm là cắm vào #(2,5)# để tìm câu trả lời của chúng tôi:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
