Làm thế nào để bạn đơn giản hóa root3 (1)?

Câu trả lời:

#1# hoặc là #1^(1/3)# =#1#

Giải trình:

Rễ hình khối của 1 giống như nâng 1 lên sức mạnh của #1/3#. 1 với sức mạnh của bất cứ điều gì vẫn là 1.

Câu trả lời:

Làm việc trong thực tế chúng ta nhận được #root 3 {1} = 1 #.

Mỗi số phức khác không có ba căn bậc ba, vì vậy có

#root 3 {1} = 1 hoặc -1/2 chiều tôi sqrt {3} / 2 #

Giải trình:

Nếu chúng tôi làm việc với số lượng thực, chúng tôi chỉ cần lưu ý #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Tôi sẽ giả định đây là về số phức.

Một trong những điều kỳ lạ mà chúng ta tìm ra khi chúng ta đi sâu vào các số phức là hàm #f (z) = e ^ {z} # là định kỳ. Tăng trưởng theo cấp số nhân là loại đối nghịch với định kỳ, vì vậy đây là một bất ngờ.

Thực tế quan trọng là Danh tính của Euler bình phương. Tôi gọi nó là Danh tính thật của Euler's.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Nhận dạng thật của Euber # e ^ z # là định kỳ với thời gian # 2pi tôi #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Chúng ta có thể nâng danh tính thật của Euler lên bất kỳ sức mạnh nguyên nào # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Tất cả những điều này có liên quan đến khối lập phương của một? Đó là chìa khóa. Nó cho biết có một số lượng vô hạn các cách viết một. Một số trong số họ có rễ khối khác nhau hơn những người khác. Đó là lý do tại sao số mũ không nguyên cho ra nhiều giá trị.

Đó là tất cả một cơn gió lớn. Thông thường tôi chỉ bắt đầu những điều này bằng cách viết:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # cho số nguyên # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + tôi phạm tội (2pi k / 3) #

Bước cuối cùng dĩ nhiên là Công thức của Euler's # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Vì chúng ta có # 2pi # tính tuần hoàn của các hàm lượng giác (xuất phát từ tính tuần hoàn của Công thức hàm mũ và Công thức Euler) chúng ta chỉ có các giá trị duy nhất trong ba lần liên tiếp # k #S. Hãy đánh giá điều này cho # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# tứ giác cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Vì vậy, chúng tôi nhận được ba giá trị cho khối lập phương của một:

#root 3 {1} = 1 hoặc -1/2 chiều tôi sqrt {3} / 2 #