Tích phân của 1 / sqrt (tanx) dx =?

Câu trả lời:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu với một sự thay thế bằng # u = sqrt (tanx) #

Đạo hàm của # u # Là:

# (du) / dx = (giây ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

vì vậy chúng tôi chia theo đó để hòa nhập với # u # (và nhớ rằng, chia cho một phân số cũng giống như nhân với đối ứng của nó):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / giây ^ 2x du = #

# = int 2 / giây ^ 2x du #

Vì chúng ta không thể hòa nhập # x #đối với # u #, chúng tôi sử dụng danh tính sau:

# giây ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 #

Điều này mang lại:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

Tích phân còn lại này sử dụng phân tách một phần khá tẻ nhạt, vì vậy tôi sẽ không làm điều đó ở đây. Hãy xem câu trả lời này nếu bạn quan tâm đến cách giải quyết:

http: // soc.org/questions/how-do-you-evalu-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Đặt lại cho # u = sqrt (tanx) #, chúng tôi nhận được:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Câu trả lời:

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

Giải trình:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

Để cho, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => giây ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#: I = int1 / hủyt * (2 * hủy * dt) / (1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# = int (1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

Lấy,# (t-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv ## => I = int1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-int1 / (v ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) dv = 1 / sqrt (2) tan ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + m2 / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t + 1 / t) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2 giây 2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #