Là f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 lõm hay lồi tại x = -1?

Câu trả lời:

# Lồi #

Giải trình:

Để kiểm tra xem hàm có lồi hay lõm không, chúng ta phải tìm#f '' (x) #

Nếu # màu (nâu) (f '' (x)> 0) # sau đó # màu (nâu) (f (x)) # Là #color (nâu) (lồi) #

Nếu # màu (nâu) (f '' (x) <0) # sau đó # màu (nâu) (f (x)) # Là #color (nâu) (lõm) #

đầu tiên chúng ta hãy tìm # màu (màu xanh) (f '(x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#color (màu xanh) (f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Bây giờ hãy để chúng tôi tìm # màu (đỏ) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ x-e ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ x-e ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Hãy để chúng tôi đơn giản hóa phân số bằng cách # x #

# màu (đỏ) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Bây giờ hãy để chúng tôi tính toán # màu (nâu) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (-1) e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#color (màu nâu) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) +6) #

# màu (nâu) (f '' (- 1)> 0 #

Vì thế,#f '' (x)> 0 # tại # x = -1 #

Vì thế,#f (x) # là lồi tại # x = -1 #

đồ thị {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}