Làm cách nào để đánh giá cos (pi / 5) mà không cần sử dụng máy tính?

Câu trả lời:

Cos (#số Pi# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Giải trình:

Nếu # theta # = #số Pi#/ 10, rồi 5# theta # = #số Pi#/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (#số Pi# /2 - # alpha #) = tội lỗi# alpha #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2 giây# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 tội # theta #.

#=># 4 (1 - # tội ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 tội# theta #. #=># 4# tội ^ 2 # # theta #+ 2 giây# theta # - 1 = 0#=>#

tội# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Bây giờ cos 2# theta # = cos #số Pi#/5 = 1 - 2# tội ^ 2 # # theta #, đưa ra kết quả.

Câu trả lời:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Giải trình:

Để cho #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Như vậy #cos (4 * pi / 5) = -a #. Từ các công thức góc kép:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Trừ đi, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # không phải là không, vì cả hai điều khoản đều tích cực, vì vậy # a-b # cần phải #1/2#. Sau đó

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

và gốc tích cực duy nhất là

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Và #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.