Làm thế nào để bạn tìm thấy Giới hạn của (ln x) ^ (1 / x) khi x tiến đến vô cùng?

Câu trả lời:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu với một mẹo khá phổ biến khi xử lý các số mũ biến đổi. Chúng ta có thể lấy nhật ký tự nhiên của một cái gì đó và sau đó nâng nó thành số mũ của hàm số mũ mà không thay đổi giá trị của nó vì đây là các phép toán nghịch đảo - nhưng nó cho phép chúng ta sử dụng các quy tắc của nhật ký theo cách có lợi.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Sử dụng quy tắc lũy thừa của nhật ký:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Lưu ý rằng đó là số mũ thay đổi như # xrarroo # vì vậy chúng ta có thể tập trung vào nó và di chuyển hàm số mũ ra bên ngoài:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Nếu bạn nhìn vào hành vi của hàm log tự nhiên, bạn sẽ nhận thấy rằng x có xu hướng vô cùng, giá trị của hàm cũng có xu hướng vô cùng, mặc dù rất chậm. Khi chúng ta lấy #ln (ln (x)) # chúng ta có một biến bên trong hàm log có xu hướng vô cùng chậm, nghĩa là chúng ta có một hàm tổng thể có xu hướng vô cùng TUYỆT VỜI từ từ. Biểu đồ bên dưới chỉ có phạm vi tối đa # x = 1000 # nhưng nó cho thấy sự tăng trưởng cực kỳ chậm của #ln (ln (x)) # thậm chí so với sự tăng trưởng chậm của #ln (x) #.

Từ hành vi này, chúng ta có thể suy ra rằng # x # sẽ thể hiện sự tăng trưởng tiệm cận nhanh hơn nhiều và giới hạn của số mũ do đó sẽ bằng không. #color (màu xanh) ("Điều này có nghĩa là giới hạn tổng thể = 1.") #

Chúng tôi cũng có thể giải quyết điểm này bằng quy tắc của L'hopital. Chúng ta cần giới hạn ở dạng không xác định, nghĩa là # 0/0 hoặc oo / oo # Vì vậy, chúng tôi kiểm tra rằng đây là trường hợp:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Đây thực sự là trường hợp để giới hạn trở thành:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Để phân biệt #y = ln (ln (x)) # nhận ra chúng ta có #y (u (x)) # và sử dụng quy tắc chuỗi

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) ngụ ý (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) ngụ ý (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#ther Before (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Dẫn xuất của # x # Là #1#. Giới hạn trở thành:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Chúng tôi đã giải quyết rằng cả hai chức năng trên mẫu số có xu hướng vô cùng vì vậy chúng tôi có

#bao (1 / oo) = exp (0) = 1 #