Làm cách nào để tìm tích phân int (x * cos (5x)) dx?

Chúng tôi sẽ ghi nhớ công thức tích hợp theo các phần, đó là:

#int u dv = uv - int v du #

Để tìm tích phân này thành công, chúng tôi sẽ cho #u = x #và #dv = cos 5x dx #. Vì thế, #du = dx # và #v = 1/5 tội lỗi 5x #. (# v # có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một cách nhanh chóng # u #-thay thế)

Lý do tôi chọn # x # cho giá trị của # u # là bởi vì tôi biết rằng sau này tôi sẽ kết hợp # v # nhân với # u #Đạo hàm của nó. Kể từ khi phái sinh của # u # Chỉ là #1#và kể từ khi tích hợp một chức năng trig không làm cho nó phức tạp hơn nữa, chúng tôi đã loại bỏ một cách hiệu quả # x # từ integrand và chỉ phải lo lắng về sin ngay bây giờ.

Vì vậy, cắm vào công thức của IBP, chúng tôi nhận được:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Kéo #1/5# ra khỏi integrand cho chúng ta:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Tích hợp sin sẽ chỉ mất một # u #-thay thế. Vì chúng ta đã sử dụng # u # đối với công thức của IBP tôi sẽ sử dụng chữ cái # q # thay thế:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Để có được một # 5 dx # bên trong tích phân tôi sẽ nhân tích phân với một tích phân khác #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Và, thay thế mọi thứ về # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Chúng tôi biết rằng tích phân của #tội# Là # -cos #, vì vậy chúng tôi có thể hoàn thành tích phân này một cách dễ dàng. Ghi nhớ hằng số tích hợp:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cần thay thế trở lại # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Và có tích phân của chúng tôi.