Vectơ đơn vị trực giao với mặt phẳng chứa (- 5 i + 4 j - 5 k) và (4 i + 4 j + 2 k) là gì?

Câu trả lời:

Có hai bước: (1) tìm tích của các vectơ, (2) bình thường hóa vectơ kết quả. Trong trường hợp này, câu trả lời là:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Giải trình:

Tích chéo của hai vectơ tạo ra một vectơ trực giao (ở góc phải) cho cả hai.

Tích chéo của hai vectơ # (một #tôi# + b #j# + c #k#)# và # (p #tôi# + q #j# + r #k#)# được đưa ra bởi # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Bước đầu tiên là tìm sản phẩm chéo:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Vectơ này trực giao với cả hai vectơ gốc, nhưng nó không phải là vectơ đơn vị. Để biến nó thành một vectơ đơn vị, chúng ta cần chuẩn hóa nó: chia mỗi thành phần của nó cho chiều dài của vectơ.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # các đơn vị

Vectơ đơn vị trực giao với các vectơ gốc là:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Đây là một vectơ đơn vị trực giao với cả hai vectơ gốc, nhưng có một vectơ khác - một vectơ theo hướng ngược lại chính xác. Chỉ cần thay đổi dấu của từng thành phần sẽ tạo ra một vectơ trực giao thứ hai với các vectơ gốc.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(nhưng đó là vectơ đầu tiên mà bạn nên cung cấp dưới dạng câu trả lời trong bài kiểm tra hoặc bài tập!)