Một thi thể được tìm thấy lúc 10 giờ sáng trong một nhà kho nơi nhiệt độ là 40 ° F. Người kiểm tra y tế nhận thấy nhiệt độ của cơ thể là 80 ° F. Thời gian gần đúng của cái chết là gì?

Câu trả lời:

Thời gian chết gần đúng là #8:02:24# là.

Điều quan trọng cần lưu ý rằng đây là nhiệt độ da của cơ thể. Người kiểm tra y tế sẽ đo nhiệt độ bên trong sẽ giảm chậm hơn nhiều.

Giải trình:

Định luật làm mát của Newton nói rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ môi trường. I E

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Nếu #T> T_0 # sau đó cơ thể nên làm mát để đạo hàm phải âm, do đó chúng ta chèn hằng số tỷ lệ và đến

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Nhân ra khung và thay đổi công cụ về chúng tôi:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Bây giờ có thể sử dụng phương pháp nhân tố tích hợp để giải quyết ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Nhân cả hai bên #I (x) # để có được

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Lưu ý rằng bằng cách sử dụng quy tắc sản phẩm, chúng tôi có thể viết lại LHS, để lại:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Tích hợp cả hai bên wrt để # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Chia cho # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Nhiệt độ trung bình của con người là # 98,6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98,6 = 40 + Ce ^ 0 #

# hình ảnh C = 58,6 #

Để cho # t_f # là thời gian mà cơ thể được tìm thấy.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 giờ #

Vì vậy, từ lúc chết, giả sử cơ thể ngay lập tức bắt đầu lạnh, phải mất 1,96 giờ để đạt đến 80 ° F tại thời điểm nó được tìm thấy.

# 1.96hr = 117,6 phút #

Thời gian chết gần đúng là #8:02:24# là