Đặt f: Rise được xác định từ R đến R. tìm nghiệm của f (x) = f ^ -1 (x)?

Câu trả lời:

# f (x) = x #

Giải trình:

Chúng tôi tìm kiếm một chức năng #f: RR rarr RR # giải pháp đó #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Đó là chúng ta tìm kiếm một chức năng là nghịch đảo của chính nó. Một chức năng rõ ràng như vậy là giải pháp tầm thường:

# f (x) = x #

Tuy nhiên, một phân tích kỹ lưỡng hơn về vấn đề có độ phức tạp đáng kể như được khám phá bởi Ng Wee Leng và Ho Foo Him như được công bố trên Tạp chí của Hiệp hội Giáo viên Toán học.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Câu trả lời:

Kiểm tra bên dưới.

Giải trình:

Những điểm chung giữa # C_f # và #C_ (f ^ (- 1)) # nếu chúng tồn tại, chúng không phải lúc nào cũng nằm trong bisector # y = x #. Dưới đây là một ví dụ về chức năng như vậy: #f (x) = 1-x ^ 2 # # màu (trắng) (a) #, # x ##trong## 0, + oo) #

đồ thị {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Tuy nhiên, chúng chỉ có trong bisector và chỉ khi # f # Là # # tăng.

Nếu # f # đang tăng nghiêm ngặt #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Nếu # f # không nghiêm túc làm tăng các điểm chung được tìm thấy bằng cách giải hệ phương trình

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Câu trả lời:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Giải trình:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # # màu (trắng) (aa) #, # x ##trong## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # # màu (trắng) (aa) #, # A ## x ##trong## RR #

vì thế # f # Là # # trong # RR #. Là một chức năng đơn điệu nghiêm ngặt, nó cũng "#1-1#"Và như một chức năng một, nó có một nghịch đảo.

Chúng ta cần giải phương trình #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #