Làm thế nào để bạn viết phân tách một phần của biểu thức hợp lý (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Câu trả lời:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Giải trình:

Để viết biểu thức đã cho thành phân số một phần, chúng tôi nghĩ về việc nhân tố mẫu số.

Hãy để chúng tôi nhân tố mẫu số

# màu (màu xanh) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = màu (màu xanh) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = màu (màu xanh) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Áp dụng danh tính của đa thức:

#color (màu cam) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

chúng ta có:

# màu (màu xanh) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = màu (màu xanh) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = màu (màu xanh) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Hãy để chúng tôi phân tách biểu thức hợp lý bằng cách tìm # A, B và C #

#color (nâu) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = color (xanh lá cây) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#color (màu nâu) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = màu (nâu) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-x-2x +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = màu (nâu) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = màu (nâu) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = màu (xanh) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Sau đó, #rArrcolor (nâu) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = màu (xanh) (3x) #

Chúng tôi có một hệ thống gồm ba phương trình với ba ẩn số # A, B và C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

Bắt đầu giải quyết hệ thống

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (màu đỏ) (B = -3-3C) #

Thay thế # B # trong eq1 chúng ta có:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (màu đỏ) (A = 3 + 2C) #

Thay thế #B và C #trong eq3 chúng ta có:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (màu (đỏ) (3 + 2C)) - 2 (màu (đỏ) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (màu đỏ) (C = -1 / 2) #

#color (đỏ) (B = -3-3C) = - 3-3color (đỏ) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

# màu (đỏ) (B = -3 / 2 #

# màu (đỏ) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

# màu (đỏ) (A = 2) #

Hãy để chúng tôi thay thế các giá trị:

#color (xanh lá cây) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = màu (nâu) (màu (đỏ) 2 / (x-2) + (màu (đỏ) (- 3 / 2)) / (x-1) + màu (đỏ) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Vì thế, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #