Làm thế nào để tính hằng số phân rã, chu kỳ bán rã và tuổi thọ trung bình của đồng vị phóng xạ mà hoạt động được tìm thấy giảm 25% trong một tuần ??

Câu trả lời:

# lambda ~ ~ 0,288 màu (trắng) (l) "tuần" ^ (- 1) #

#t_ (1/2) ~ ~ 2.41 màu (trắng) (l) "tuần" #

# tau ~ ~ 3.48 màu (trắng) (l) "tuần" #

Giải trình:

Hằng số phân rã bậc một # lambda # bao gồm biểu thức cho hoạt động phân rã tại một thời điểm cụ thể #A (t) #.

#A (t) = A_0 * e ^ (- lambda * t) #

#e ^ (- lambda * t) = (A (t)) / A_0 = 1/2 #

Ở đâu # A_0 # các hoạt động tại thời điểm không. Câu hỏi gợi ý rằng #A (1 màu (trắng) (l) "tuần") = (1-25%) * A_0 #, do đó

#e ^ (- lambda * 1color (trắng) (l) "week") = (A (1color (trắng) (l) "week")) / (A_0) = 0.75 #

Giải quyết cho # lambda #:

# lambda = -ln (3/4) / (1 màu (trắng) (l) "tuần") ~ ~ 0,288 màu (trắng) (l) "tuần" ^ (- 1) #

Theo định nghĩa (tự giải thích) về chu kỳ bán rã

#e ^ (- lambda * t_ (1/2)) = (A (t_ (1/2))) / A_0 = 1/2 #

# -lambda * t_ (1/2) = ln (1/2) #

#t_ (1/2) = ln2 / (lambda) ~ ~ 2,41 màu (trắng) (l) "tuần" #

Cuộc sống trung bình # tau # đại diện cho giá trị trung bình số học của tất cả các vòng đời riêng lẻ và bằng với nghịch đảo của hằng số phân rã.

# tau = 1 / lambda = 3.48 màu (trắng) (l) "tuần" #