Một cặp xúc xắc sáu mặt công bằng được ném tám lần. Tìm xác suất để điểm lớn hơn 7 được ghi không quá năm lần?

Câu trả lời:

#~=0.9391#

Giải trình:

Trước khi chúng ta đi vào câu hỏi, hãy nói về phương pháp giải quyết nó.

Ví dụ, giả sử tôi muốn tính đến tất cả các kết quả có thể có từ việc lật một đồng xu công bằng ba lần. Tôi có thể nhận HHH, TTT, TTH và HHT.

Xác suất của H là #1/2# và xác suất cho T cũng là #1/2#.

Đối với HHH và đối với TTT, đó là # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # mỗi.

Đối với TTH và HHT, nó cũng # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # mỗi, nhưng vì có 3 cách tôi có thể nhận được mỗi kết quả, nên cuối cùng kết quả là # 3xx1 / 8 = 3/8 # mỗi.

Khi tôi tổng hợp những kết quả này, tôi nhận được #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - có nghĩa là bây giờ tôi có tất cả các kết quả có thể có của việc lật đồng xu chiếm.

Lưu ý rằng nếu tôi đặt # H # được # p # và do đó có # T # được # ~ p #và cũng lưu ý rằng chúng ta có một dòng từ Tam giác Pascal #(1,3,3,1)#, chúng tôi đã thiết lập một hình thức:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

và trong ví dụ này, chúng ta nhận được:

# = C_ (3.0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Bây giờ chúng ta có thể làm vấn đề.

Chúng tôi đã cho số lượng cuộn là 8, vì vậy # n = 8 #.

# p # là tổng lớn hơn 7. Để tìm xác suất nhận được tổng lớn hơn 7, hãy xem xét các cuộn có thể:

# ((màu (trắng) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Trong số 36 khả năng, 15 cuộn cho tổng số tiền lớn hơn 36, đưa ra xác suất #15/36=5/12#.

Với # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Chúng ta có thể viết ra toàn bộ tổng số khả năng - từ việc có được tất cả 8 cuộn là tổng lớn hơn 7 cho đến khi tất cả 8 cuộn trở thành tổng của 7 hoặc ít hơn:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8.1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8.2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8.3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8.4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

nhưng chúng tôi chỉ quan tâm đến việc tóm tắt những điều khoản có số tiền lớn hơn 7 của chúng tôi xảy ra 5 lần hoặc ít hơn:

# = C_ (8.3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8.4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Câu trả lời:

#0.93906#

Giải trình:

# "Vậy P kết quả> 7 = 15/4 = 5/12" #

#P "xảy ra k lần trên 8 lần ném" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(phân phối nhị thức)" #

# "với" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kết hợp)" #

#"Vì thế, "#

#P "nó xảy ra nhiều nhất 5 lần trên 8 lần ném" #

# = 1 - P "nó xảy ra 6, 7 hoặc 8 lần trên 8 lần ném" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ số 8#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#