Có điểm nào (x, y) trên đường cong y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, tại đó tiếp tuyến song song với trục x không?

Câu trả lời:

Không có điểm nào như vậy, theo như toán học của tôi đi.

Giải trình:

Trước tiên, hãy xem xét các điều kiện của tiếp tuyến nếu nó song song với # x #-axis. Kể từ khi # x #-axis là ngang, bất kỳ đường thẳng song song với nó cũng phải nằm ngang; do đó, nó theo dòng tiếp tuyến là ngang. Và, tất nhiên, tiếp tuyến ngang xảy ra khi đạo hàm bằng #0#.

Do đó, trước tiên chúng ta phải bắt đầu bằng cách tìm đạo hàm của phương trình quái dị này, có thể được thực hiện thông qua sự khác biệt ngầm:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Sử dụng quy tắc tổng, quy tắc chuỗi, quy tắc sản phẩm, quy tắc thương và đại số, chúng tôi có:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … thật là dữ dội. Bây giờ chúng ta đặt đạo hàm bằng #0# và hãy xem chuyện gì xảy ra.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Hấp dẫn. Bây giờ hãy cắm vào # y = -1 # và xem những gì chúng ta nhận được cho # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Vì đây là một mâu thuẫn, chúng tôi kết luận rằng không có điểm nào đáp ứng điều kiện này.

Câu trả lời:

Không tồn tại một tiếp tuyến như vậy.

Giải trình:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) tương đương y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Đang gọi #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # chúng ta có

#df = f_x dx + f_y dy = (u một phần) / (một phần x) dx + (một phần v) / (một phần y) dy = 0 # sau đó

# dy / dx = - ((một phần u) / (một phần x)) / ((một phần v) / (một phần y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Chúng ta thấy rằng # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # nhưng những giá trị đó phải xác minh:

#f (x, y_0) = 0 # và

#f (x_0, y) = 0 #

Trong trường hợp đầu tiên, # y_0 = 1 # chúng ta có

# x ^ x = -1 # mà không thể đạt được trong miền thực.

Trong trường hợp thứ hai, # x_0 = e ^ {- 1} # chúng ta có

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # hoặc là

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

nhưng

# y / (y + 1) log_e y> -1 # Vì vậy, không có giải pháp thực sự cũng có.

Kết luận, không có một tiếp tuyến như vậy.

Câu trả lời:

Câu trả lời từ Dr, Cawa K, x = 1 / e, là chính xác.

Giải trình:

Tôi đã đề xuất câu hỏi này để có được giá trị này chính xác. Nhờ vào

Tiến sĩ, Cawas cho một câu trả lời quyết định chấp thuận sự mặc khải rằng

độ chính xác kép y 'vẫn là 0 trong khoảng này. y là

liên tục và khác biệt tại x = 1 / e. Cả hai nhân đôi 17-sd

độ chính xác y và y 'là 0, trong khoảng này khoảng x = 1 / e, đó là một

phỏng đoán rằng trục x chạm vào đồ thị ở giữa. Và bây giờ, nó là

đã chứng minh. Tôi nghĩ rằng cảm ứng là siêu việt..