Int (cos (x)) ^ 4 dx là gì?

Câu trả lời:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Giải trình:

Mặc dù ban đầu có vẻ là một tích phân thực sự khó chịu, chúng ta thực sự có thể khai thác các danh tính trig để chia tích phân này thành một loạt các tích phân đơn giản mà chúng ta quen thuộc hơn.

Danh tính chúng tôi sẽ sử dụng là:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Điều này cho phép chúng ta thao tác phương trình của chúng tôi như vậy:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng quy tắc của mình một lần nữa để loại bỏ cos ^ 2 (2x) bên trong ngoặc đơn:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Bây giờ chúng tôi thực sự có một vấn đề tích hợp khá đơn giản, chúng tôi có thể phân phối tích phân vào phần gốc của chúng tôi để:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Mỗi tích phân trig này được xử lý với quy tắc đơn giản là #int cos (rìu) dx = 1 / a sin (rìu) #.

Như vậy

# = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8 giây (2x) + sin (4x) #