Một tam giác cân có các cạnh A, B và C với các cạnh B và C có chiều dài bằng nhau. Nếu cạnh A đi từ (1, 4) đến (5, 1) và diện tích của tam giác là 15, tọa độ có thể có của góc thứ ba của tam giác là gì?

Câu trả lời:

Hai đỉnh tạo thành một cơ sở có chiều dài 5, do đó độ cao phải là 6 để có được diện tích 15. Bàn chân là trung điểm của các điểm và sáu đơn vị theo hướng vuông góc cho # (33/5, 73/10)# hoặc là #(- 3/5, - 23/10) #.

Giải trình:

Mẹo chuyên nghiệp: Cố gắng tuân theo quy ước của các chữ cái nhỏ cho các cạnh tam giác và viết hoa cho các đỉnh tam giác.

Chúng tôi đã cho hai điểm và diện tích của một tam giác cân. Hai điểm làm cơ sở, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Bàn chân # F # độ cao là trung điểm của hai điểm, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Vectơ chỉ phương từ giữa các điểm là #(1-5, 4-1)=(-4,3)# với cường độ 5 như vừa tính. Chúng ta có được vectơ chỉ phương của đường vuông góc bằng cách hoán đổi các điểm và phủ định một trong số chúng: #(3,4)# mà cũng phải có năm độ lớn.

Từ khu vực # A = frac 1 2 b h = 15 # chúng tôi nhận được # h = (2 * 15) /b=6.#

Vì vậy, chúng ta cần phải di chuyển #6# đơn vị từ # F # theo hướng vuông góc để có đỉnh thứ ba mà chúng ta đã gọi # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) chiều 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) hoặc C = (- 3/5, - 23/10) #

Kiểm tra: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Diện tích đã ký sau đó là một nửa sản phẩm chéo

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Đó là kết thúc, nhưng hãy khái quát hóa câu trả lời một chút. Hãy quên nó là isosceles. Nếu chúng ta có C (x, y), diện tích được cho theo công thức dây giày:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Khu vực là #15#:

# chiều 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 chiều 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # hoặc là # -11 = 3x + 4y #

Vì vậy, nếu đỉnh C nằm trên một trong hai đường thẳng song song đó, chúng ta sẽ có một tam giác có diện tích 15.

Để cho # PR = A # là cạnh của tam giác cân có tọa độ các điểm cuối của nó như sau

#Pto (1,4) # và #Rto (5,1) #

Đặt tọa độ điểm thứ ba của tam giác là # (x, y) #.

Như # (x, y) # là tương đương từ P và R chúng ta có thể viết

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Lần nữa # (x, y) # là tương đương từ P và R, vuông góc giảm từ # (x, y) # đến # PR # phải chia đôi nó, hãy để chân này vuông góc hoặc giữa của # PR # được # T #

Vậy tọa độ của #Tto (3,2,5) #

Bây giờ chiều cao của tam giác cân

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Và cơ sở của tam giác cân

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Vì vậy, vấn đề khu vực của nó

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Bởi 2 và 1 chúng ta nhận được

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Vì thế # y = 7.3 và y = -2.3 #

khi nào # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

khi nào # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Vậy tọa độ của điểm thứ ba sẽ là

# (6.6.7.3) thành "Q trong hình" #

HOẶC LÀ

# (- 0,6, -2,3) thành "S trong hình" #