Câu trả lời:
Hội tụ đến # 1 + tôi # (trên máy tính vẽ đồ thị Ti-83 của tôi)
Giải trình:
Để cho # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Đầu tiên, Giả sử rằng chuỗi vô hạn này hội tụ (nghĩa là giả sử S tồn tại và lấy giá trị của một số phức), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Và nếu bạn giải quyết cho S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
và áp dụng công thức bậc hai mà bạn nhận được:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 giờ chiều tôi #
Thông thường hàm căn bậc hai lấy giá trị dương do đó # S = 1 + i #
Vì vậy, nếu nó hội tụ thì nó phải hội tụ # 1 + tôi #
Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là chứng minh rằng nó hội tụ hoặc nếu bạn lười như tôi thì bạn có thể cắm # sqrt {-2} # vào một máy tính có thể xử lý các số ảo và sử dụng mối quan hệ lặp lại:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Tôi đã lặp lại điều này nhiều lần trên Ti - 83 của tôi và thấy rằng nó tiến gần hơn chẳng hạn sau khi tôi lặp lại ở đâu đó như 20 lần tôi nhận được khoảng
# 1.000694478 + 1.001394137i #
xấp xỉ khá tốt
