Câu trả lời:
Đối với bên thứ ba là ngắn nhất, chúng tôi yêu cầu # (1 + sqrt2) | b |> abs> absb # (và đó # a # và # b # có cùng dấu hiệu).
Giải trình:
Cạnh dài nhất của tam giác vuông luôn là cạnh huyền. Vì vậy, chúng ta biết chiều dài của cạnh huyền là # a ^ 2 + b ^ 2. #
Đặt chiều dài cạnh không xác định là # c. # Sau đó, từ định lý Pythagore, chúng ta biết
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
hoặc là
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (trắng) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (trắng) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (trắng) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (trắng) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Chúng tôi cũng yêu cầu tất cả các độ dài bên phải tích cực, vì vậy
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 hoặc b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 hoặc a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb
Bây giờ, cho bất kì tam giác, cạnh dài nhất phải ngắn hơn tổng của hai bên kia. Vì vậy chúng tôi có:
#color (trắng) (=>) 2ab + "" c màu (trắng) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => Màu 2ab (trắng) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," nếu b> 0), (a <b "," nếu b <0):} #
Hơn nữa, cho bên thứ ba là nhỏ nhất, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
hoặc là # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # hoặc là # a-b <sqrt2b # hoặc là #a <b (1 + sqrt2) #
Kết hợp tất cả các hạn chế này, chúng tôi có thể suy luận rằng để bên thứ ba là ngắn nhất, chúng tôi phải có # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb và (a, b <0 hoặc a, b> 0). #
